入試問題にチャレンジ⑧上位校を目指す中3生へ(数学)
1. ある中学校に通うA地域とB地域の生徒に、ペットボトルのキャップを集める活動に参加するよう呼び掛けたところ、A地域とB地域の生徒全員である80人が参加した。生徒が集めたキャップの個数は、A地域が1人あたりA地域とB地域の生徒平均１４個、A地域が1人あたり平均１６個であり、A地域とB地域の全体では1人あたり平均15.2個であった。このとき、次の問いに答えよ。
(1) A地域とB地域の生徒の人数をそれぞれ求めるために。太郎さんは連立方程式をつくって、花子さんは一次方程式をつくって、それぞれ次のように考えた。アにはxとyを使った式を、イ、オには数を、ウ、エにはxを使った式を、それぞれ当てはまるように書け。
太郎さんの考え A地域の生徒の人数をx人、B地域の生徒の人数をy人とする。A地域とB地域の生徒全員の人数は80人である。このことから方程式をつくると、ア□=80・・・① また、A地域とB地域の生徒全員であつめたキャップの個数は、全部でイ□個である。このことから方程式をつくると ウ□＋16y=イ□・・・②
花子さんの考え A地域の生徒の人数をx人とする。A地域とB地域の生徒全員が１６個ずつキャップを集めたと考えると、A地域の生徒が集めたキャップの個数は全部で、エ□個増えることになるが、B地域の生徒の生徒が集めたキャップの個数は変わらない。また、A地域とB地域の生徒全員で集めたキャップの個数は、全部でオ□個増えることになる。このことから方程式をつくるとエ□=オ□
(2) A地域とB地域の生徒の人数をそれぞれ求めよ。
(3) ペットボトルのキャップを集める活動に参加した生徒全員で、別の日にアルミの空き缶をを集めた。生徒が集めた空き缶の1人当たりの平均の個数は、A地域がB地域の1.2倍であった。A地域の生徒が集めた空き缶の個数は、B地域の生徒が集めた空き缶の個数よりも、全部で96個少なかった。A地域とB地域の生徒全員で集めた空き缶の個数は全部で何個になるか。
岐阜 ’16
2. 桜さんのクラスでは、数学の授業で、次の問題を解くことになった。下の会話は各自で式をつくった後、桜さんのグループで、つくった式について自分の考えを説明している場面の一部である。
問題 正志君は自分の家から、途中にある光君の家に立ち寄って、公園行くことにしました。週末に、正志君は、ア自分の家から光君の家まで自転車で持続12kmで行き、光君の家からは、いっしょに公園まで歩いて時速4kmで行ったところ、全体で30分かかった。次の週末に、正志君は、前の週と同じ道を通って、イ自分の家から光君の家まで自転車で持続10kmで行き、光君の家で10分間過ごした後、いっしょに公園まで自転車で時速15kmで行ったところ、全体で前の週より2分多くかかった。正志君の家から光君の家までの道のりと、皮下の君の家から公園までの道のりを、それぞれ求めよ。
会話
太一: ボンは、正志君の家から光君の家までの道のりをx km、光君の家から公園までの道のりをy kmとして、下線部アから $\frac{x}{12}＋\frac{y}{4}=$30という式をつくってみたよ。
桜 : 私も、正志君の家から光君の家までの道のりをx km、光君の家から公園までの道のりをy kmとするところまでは、太一君と同じだったよ。でも下線部アから作った式は太一君とちがって□としたよ。
太一: なるほど。さくらさんのつくった式の方が正しいね。
理江: 下線部イから式をつくるときも、同じこと注意しないといけないね。
(1) 桜さんのつくった式が正しくなるように、会話の□にあてはまる式を答えよ。
(2) 太一君は会話の後、式をつくり直し、次のように解答した。太一君の解答を完成せよ。
解答 正志君の家から光君の家までの道のりをx km,光君の家から公園までの道のりをy kmとすると、
答え 正志君の家から光君の家までの道のりを km、光君の家から公園までの道のり km
宮崎 ’16
解答
1 (1) ア x＋y イ 1216 ウ 14x エ 2x オ 64
(2) A地域・・32人 B地域・・48人 (3) 864個
2 (1) $\frac{x}{12}＋\frac{y}{4}=$ $\frac{1}{2}$
(2) 解答の続き $\frac{x}{12}＋\frac{y}{4}=$ $\frac{1}{2}$ $\frac{x}{10}＋\frac{10}{60}＋\frac{y}{15}=$ $\frac{32}{60}$
これを整理すると x＋3y=6 3x＋2y=1 これを解いて x=3 y=1
正志君の家から光君の家までの道の・・・3km、光君の家から公園までの道のり・・・1km
